等比数列の和の公式

数年前に放送大学で「入門微分積分('16)」（石崎克也放送大学教授）を受講しました。既に単位は取得済みではあるのですが、お恥ずかしながら、充分に理解しているとは言えません。この状態で、微分方程式とか量子力学や相対論などを勉強しようとしても、結局はなんとかなるかもしれませんが、自分自身として納得できません。あらためて印刷教材を最初から読み直しています。

 

この書籍に限りませんが、記述内容や数式などを「表面的」な理解で済ませてしまうと、読了しても不完全燃焼感に苛まれてしまいます。今回は数式の展開も納得するまで理解してから読み進めようと決意しています。ただし書籍によっては、わからなくても先に進み、あとから戻って再読することを推奨している場合があります。そのような手法も理解できますが、それを繰り返してきた挙句に今があることを考えると、今回は先を急がずジリジリと進んでいこうと考えています。

 

「第1章 実数・数列」の「1.6 解析学基本定理」において、ネピア数を与える数列{an} = (1+1/n)^nが上に有界であることを示す内容が記されていました。ここで以下のように式が変形されていたのですが、何故こうなるのか、わかりませんでした。

 an < 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n!

< 1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + ... + 1/2^(n-1)

= 1 + 2(1 - 1/2^n) < 3

1行目が2行目よりも小さいのは、2^(n-1) = 1 * 2^(n-1) ≦ 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n = n! を踏まえているのは理解できました。しかし2行目から3行目の等号は何でしょうか？

 

Googleなどで情報を検索できるようになった今日は、できなかった以前に比べて、とても有難いと思います。できなかった頃であれば、図書館で書籍を手当たり次第に探るとか、詳しそうな人に尋ねるしかありませんでした。いまならGoogle（もし好みであればGemini）を使えば、全く見当もつかないとしても、手掛かりを得ることができます（可能性としては）。

 

結局は、初項aで公比rの等比数列の和の公式が使われているだけとわかり、納得しました。この公式を昔々習っていたことを思い出しましたが、普段使うこともないので、忘れていました。