「定理1.3から」が分からない

放送大学で数年前に受講した「入門微分積分('16)」の印刷教材を読み直しています。受講していた当時は、（本当はよくないことだと思いますが）流し読みをしていただけでした。その反省を踏まえて、印刷教材の記述における論理の展開や式の導出などを納得できるところまで考えながら読んでいこうと思っています。

 

「1.8 課題1.Cの解決」を読んでいると、数列{an}において、以下の結果が得られます。ここまでは、理解できました。

0 < an < 2, n = 1, 2, ...   (1.16)

 

これを踏まえて、次のように記述されています。

すなわち、数列{an}は増加数列であることがわかります。また、(1.16)は、{an}が上に有界であることも示しています。 ゆえに、定理1.5より、{an}は収束します。この極限値lim an (n→∞)をαとおきましょう。定理1.3から、0 ≦ α ≦ 2です。

 

さて、この記述にある「定理1.3」とは、次のようなものです。

定理1.3 2つの数列{an}、{bn}は収束して、lim an (n→∞) = α、lim bn (n→∞) = β であるとする。任意のnに対して、an ≦ bnであるならば、α ≦ βである。

 

記述は、「極限値をαとおく」→「定理1.3から」→「0 ≦ α ≦ 2である」となっているのですが、この論理の展開がよくわかりません。「極限値をαとおく」のは構わないのですが、「定理1.3から」→「0 ≦ α ≦ 2」と何故なるのでしょうか？

 

些細な疑問も解決していきながら読み進めていくつもりですが、前言を翻すことになってしまいますが、この疑問は保留として先に進もうと思います。