2019/03/17

不動点

放送大学共用学部で4月から「微分方程式('17)」を受講する予定です。昨年4月からは「入門微分積分('16)」を受講し、既に単位取得済みではあるのですが、残念ながら理解が十分とは言えません。理解の程度を度外視すれば、恐らく「微分方程式('17)」も単位を取得できるかもしれませんが、それで何の意味があるのだろうか、と自問します。微分や積分という概念がわからないわけではありませんが、問題がスラスラ解けるというわけではないし、印刷教材に書いてあることが良く理解できたわけでもありません。というわけで、去年受講した「入門微分積分('16)」の復習をしています。

理解が不足している事項は多々あるのですが、そのひとつが「不動点」です。印刷教材の「3 単調関数・逆関数」の「課題 3.C」には「関数f(x)=x^2 - 5/4を2回合成させて動かない点を求めよ」とあります。「動かない点」というのが要するに「不動点」ということらしいのですが、関数における不動点というのが概念的にわかりません。

微分に関する書籍には「不動点」について書いてありますが、たいていは以下のような感じです。ここで引用しているのは平凡社の世界大百科事典にあった記述です。
Xを集合とし、fをXからX自身への写像とする。Xの点Pに対しf(P)=Pが成り立つならば、Pをfの不動点、または固定点という。
ここにあるようにf(P)=P(もしくはf(P)-P=0)となるように計算すれば、表面的には問題が解けます。計算のテクニックがあるとしても、計算すること自体は難しいということもありません。

しかし「f(P)-P=0となるPを固定点と呼ぶ」と言われても、「それで?」としか思いません。概念がスッキリしないのです。「不動点」というのは、いろいろと応用の効く概念らしいのです。スッキリしませんが、納得できるように考えていこうと思っています。

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